被時空彎曲的光
黑洞是怎麼運作的？它真正的模樣又是如何？十一堂簡短的課程搭配動畫圖解，為你一一說明。接著，四個即時模擬讓你環繞黑洞飛行、墜入黑洞、穿越蟲洞，並以接近光速的速度旅行。畫面上的每個像素都是一道光線，在彎曲的時空中逐一追蹤而來。
黑洞如何運作
黑洞是宇宙中最簡單、也最奇特的天體：只有質量、自旋，以及一道任何東西都無法離開的邊界。這十一堂簡短的課程，從物體為什麼會掉落，一路講到黑洞為什麼會發光。不需要數學基礎；想深入的話，方程式也都附在裡面。
重力就是時空的形狀
物體之所以會落下，是因為空間與時間是彎曲的。
牛頓把重力描述成一種讓質量互相吸引的力。1915 年，愛因斯坦以幾何取代了這種力：質量與能量會使時空彎曲，也就是由空間與時間交織而成的四維結構；而從行星到光，萬物都沿著其中最直的路徑前進。地球繞著太陽轉，並不是因為有什麼在拉它，而是在太陽周圍彎曲的時空裡，它最直的路徑恰好閉合成一條軌道。
時間也是這個結構的一部分：越靠近質量的時鐘，走得越慢。這個效應很小，卻真實存在。GPS 衛星上的時鐘離地球的質量較遠，每天比地面上的時鐘快約 45 微秒；衛星的軌道速度又讓它慢回 7 微秒。如果忽略這個差異，定位結果每天會偏移大約十公里。
時空告訴物質如何運動；物質告訴時空如何彎曲。（約翰·惠勒）
- 1915 年
- 愛因斯坦發表廣義相對論
- 38 微秒
- GPS 時鐘每天淨快的時間
重到連光都逃不掉
任何質量只要被壓得夠小，就沒有東西爬得出來。
把球往上丟，它會掉回來。但如果以每秒超過 11.2 公里的速度丟出去，也就是地球的逃逸速度，它就再也不會回來。逃逸速度取決於質量，以及你離它有多近：在質量不變的情況下把地球壓小，它表面的逃逸速度就會升高。
1783 年，英國牧師約翰·米歇爾（John Michell）提出一個問題：如果一顆恆星緻密到逃逸速度超過光速，會發生什麼事？它的光將永遠無法離開，成為一顆「暗星」。愛因斯坦的理論讓這個想法變得精確。1916 年，卡爾·史瓦西找到了單一質量的解，其中藏著一個臨界尺寸，也就是今天所說的史瓦西半徑。把任何質量壓縮到這個半徑之內，就會形成黑洞。
每個質量都有自己的史瓦西半徑：每一個太陽質量，大約對應 3 公里。
黑洞如何誕生
當巨大的恆星耗盡燃料，重力便贏了。
恆星是一場拉鋸戰。重力把氣體往內拉，核心核融合產生的熱則向外推。燃料一旦用盡，平衡就會瓦解。像太陽這樣的恆星會縮成白矮星，靠著不肯再被擠近的電子撐住。
質量超過約八個太陽的恆星，最後會以超新星收場：它們的鐵核會在不到一秒內塌縮。核心通常會變成中子星。但如果剩下的部分超過大約兩到三個太陽質量（質量約在二十個太陽以上的恆星往往如此），就連中子也撐不住，它會塌進自己的史瓦西半徑之內。一個恆星級黑洞就此誕生，質量通常是太陽的 5 到 50 倍。
每個大型星系的中心，也都有一個超大質量黑洞，比太陽重數百萬到數十億倍。我們銀河系的那一個是人馬座 A*，約重 430 萬個太陽：天文學家追蹤繞著它運行的恆星超過三十年，才秤出它的質量。這些巨獸如何在宇宙歷史這麼早期就長得這麼大，至今仍是未解之謎。
黑洞主要分為兩大家族：由垂死恆星留下的恆星級黑洞，以及位於星系中心的超大質量黑洞。
- 約 1 億
- 銀河系中恆星級黑洞的估計數量
- 430 萬
- 個太陽質量：銀河系中心的人馬座 A*
事件視界
一道只能穿越一次的邊界。
史瓦西半徑標示著事件視界的位置。它不是一個表面：落入其中的太空人在那裡什麼也不會發現。它是一個不歸點。在視界之外，夠強大的火箭仍然逃得掉；在視界之內，所有可能的路徑，即使是光的路徑，都只會通往更深處。
有一種想像方式是把它看成一條河。空間像流向瀑布的河水一樣流進黑洞，越流越快，而光則以光速在其中游動。在遠處，水流很弱，光可以輕易游走。到了視界，水流的速度達到光速，朝外發出的光只能停在原地。在視界之內，水流永遠佔上風。
時間也訴說著同樣的故事。從遠處看，一個落下的時鐘越接近視界就走得越慢，它的光也越來越紅、越來越暗，最後從視野中淡去，彷彿凍結在邊緣。但拿著時鐘的太空人對這一切毫無察覺，並在有限的時間內穿越過去。
在質量附近，時鐘會以某個比例變慢，而這個比例在視界處降為零。
光子球與陰影
光可以繞著黑洞運行，結果就是天空中出現一個洞。
在史瓦西半徑的一倍半處，重力會把光彎成一個圓，這就是光子球。這條軌道並不穩定，就像用筆尖立起來的鉛筆：只要輕輕一推，光就會螺旋墜入或遠遠飛走。如果你能站在那裡，就會看見自己的後腦勺。
從遠方射來的光，如果瞄準的位置與中心的距離小於某個臨界距離，就會沉到光子球以下而被吞噬。從外面看，所有這些消失的光線構成一個黑色圓盤：黑洞的陰影。重力會把它放大，所以它的寬度約是視界本身的 2.6 倍。剛好擦身而過的光，會在經過時繞黑洞一圈，在陰影邊緣堆疊成一道細而明亮的光環。
2019 年，事件視界望遠鏡這個與地球一樣寬的電波望遠鏡網路，拍下了 5,500 萬光年外黑洞 M87* 的陰影。2022 年，它也為人馬座 A* 拍下了同樣的影像：從地球看去，它的光環就像放在月球上的一個甜甜圈那麼大。
光子球位於 1.5 rs 處，它在天空中投下的陰影半徑約為 2.6 rs。
吸積盤
黑洞本身看不見，但落入其中的氣體，卻是宇宙中最明亮的東西之一。
黑洞本身不發出任何光，我們看到的是正在落入的物質。來自伴星或星系擁擠中心的氣體，無法直直掉進去：就像在排水孔周圍打轉的水，它保有側向的運動，逐漸形成一個扁平、旋轉的盤。
盤的內側比外側轉得快得多，所以相鄰的氣體環會彼此錯身滑過。糾結的磁場就像摩擦力，把氣體加熱到數百萬度，並讓它慢慢螺旋向內。到了內緣，氣體的速度已達光速的一半。
這個內緣就是最內穩定圓軌道，簡稱 ISCO：對不自旋的黑洞而言，它位於史瓦西半徑的三倍處。再往內，就沒有穩定的軌道了，氣體會直墜入視界。在抵達之前，它已把約 6% 的質量轉換成光；若是繞著快速自旋的黑洞，更可高達約 30%。核融合只能做到 0.7%。這就是為什麼由超大質量黑洞餵養的類星體，能比整個星系還要明亮。
內側軌道比外側快，就像水星跑得比海王星快。兩者之間的摩擦會加熱氣體，並耗去它的能量。
- 6%–30%
- 氣體質量轉換成光的比例
- 0.7%
- 太陽核融合的比例
吸積盤為何翻過黑洞頂端
《星際效應》那著名的模樣，其實是重力在充當透鏡。
如果沒有重力，從側面看一顆球周圍的盤，會是一個扁平的橢圓，遠側的一半藏在球的後面。黑洞卻會讓遠側那一半發出的光，在前往我們的途中彎折。從遠側盤面上方發出的光，被彎折向上、越過陰影的頂端；從盤面下方發出的光，則被彎到陰影下方。因此我們會看到盤的背面兩次：一次是橫跨頂端的拱形，另一次是底下較細的一道弧。
盤本身並沒有彎曲：它又平又薄，被彎曲的只有光。換個視角，影像也會跟著改變：從正上方看，盤的遠側會繞成一個環，完整包圍陰影一圈。
黑洞就是一面透鏡：它讓你看見背後的東西，而且被拉長、放大，往往還不只出現一次。
一側更亮
高速奔馳的氣體把光集中射向前方，而重力則耗去光的能量。
在靠近內緣處，吸積盤的速度可達光速的相當比例：一側朝我們而來，另一側遠離我們。相對論讓這一點變得極為重要。來自接近側的光會偏向較藍的顏色，並集中成朝前的光束，因此看起來亮得多；遠離側則顯得更紅、更暗。亮度大約隨都卜勒因子的四次方增加，所以顏色只要稍有變化，亮度就會大幅改變。
此外，從黑洞重力中爬出來的光會損失能量，偏向較紅的顏色：這就是重力紅移。最內側的氣體雖然最熱，看起來卻比實際更冷、更暗。
《星際效應》把這些全都省略了。製作團隊讓吸積盤保持對稱，以免觀眾被一個一邊亮一邊暗的黑洞弄糊塗。這個模擬兩種都做得到：電影模式維持單一色調，物理模式則依盤面每一處自己的黑體溫度，各自偏移它的顏色。
我們看到的樣子，取決於光源移動得多快，以及它陷在重力中有多深。這兩者被合併成單一個頻移因子 g。
自旋
真實的黑洞會自旋，並拖著時空一起轉動。
恆星會自轉，而塌縮中的核心，會像收起雙臂的花式滑冰選手一樣越轉越快。黑洞保留了這股旋轉。1963 年，羅伊·克爾（Roy Kerr）找到了自旋黑洞的精確解。《星際效應》裡的黑洞，以及這些模擬中的黑洞，正是這種自旋黑洞。
自旋的黑洞會拖著周圍的空間一起轉，這種效應稱為參考系拖曳。在靠近黑洞處，拖曳強烈到沒有任何東西能保持靜止：在動圈裡，即使火箭全力推進，也會被自旋帶著走。視界會縮小，而順著自旋方向運行的氣體，可以在墜入之前繞得更近，因此吸積盤延伸得更靠內，也發出更熾熱的光。
自旋也會改變陰影。從轉向我們那一側經過的光，會被順勢推一把，可以靠得更近；另一側的光則被往回拖住。自旋很高時，陰影的一側邊緣會變平，整個陰影也會往旁邊偏移。
自旋以 a/M 衡量，從 0（不自旋）到 1（最快的可能轉速）。理論認為真實黑洞的自旋會停在 0.998 左右。
麵條化
如果你腳先掉進去，重力拉你雙腳的力道，會比拉頭更強。
重力隨距離減弱，所以它對物體近端的拉力，總是比對遠端稍強一些。在地球上，這個差異在你身體兩端小到察覺不到；但放大到整個地球，月球造成的這種差異就掀起了海洋的潮汐。在黑洞附近，它會變得極其巨大：落下的太空人會從頭到腳被拉長、從兩側被擠壓，就像一條麵條。
出乎意料的是，小黑洞才是危險的那種。掉進一個 10 個太陽質量的黑洞，你腳與頭所受拉力的差異，在視界處會高達兩千萬 g：早在抵達視界之前數百公里，你就會被撕裂。而在人馬座 A*，視界處的差異只有約萬分之一 g，你會毫無感覺地穿越過去。
恆星也會遭遇同樣的命運。當一顆恆星太靠近超大質量黑洞，它會被拉成一條長長的氣體流，其中一部分落入黑洞，點亮一道持續數月的閃焰：這就是潮汐瓦解事件。
拉伸的強度與距離的三次方成反比；而在視界處，它與質量的平方成反比。
- 2,000 萬 g
- 10 個太陽質量黑洞的視界處
- 0.0001 g
- 人馬座 A* 的視界處
黑洞會永遠存在嗎？
幾乎是。量子力學讓它們發出非常微弱的光。
1974 年，史蒂芬·霍金證明，視界附近的量子效應會讓黑洞發出微弱的熱輻射，因此黑洞會慢慢失去質量。黑洞越大，溫度就越低。一個太陽質量的黑洞，溫度只比絕對零度高約一億分之六度，遠比大霹靂留下的 2.7 K 餘暉還冷。所以如今每個已知的黑洞吞進的能量，都比輻射出去的多，並持續成長。
只有在極遙遠的未來，等宇宙冷卻到比它們更低溫時，黑洞才會開始縮小。一個太陽質量的黑洞大約需要 10⁶⁷ 年才會蒸發殆盡；最大的黑洞則需要約 10¹⁰⁰ 年。霍金輻射從未被觀測到，但它仍是我們理解重力與量子力學如何相容的最深刻線索之一。
黑洞的溫度與質量成反比：越小越熱。
- 60 nK
- 一個太陽質量黑洞的溫度
- 2.7 K
- 宇宙微波背景輻射的溫度
- 10⁶⁷ 年
- 一個太陽質量黑洞蒸發所需的時間
追蹤光線
要畫出黑洞，就得知道抵達你眼中的每一道光從何而來。在平坦的空間中這很簡單，因為光沿直線前進。但在黑洞附近，光會沿著前面課程介紹的彎曲路徑行進，於是畫出黑洞就成了一道計算題。
讓光倒著走
光線追蹤是把光的路徑反過來追。從相機出發，每個像素各發射一道光線進入場景，在彎曲的幾何結構中一步步推進。如果它落入視界，這個像素就是黑色；如果它穿過吸積盤，就取得盤面的光芒，並加上都卜勒效應與重力造成的頻移；如果它逃離了，就取得它最終離開方向上的天空顏色。
在太陽附近，這種彎曲非常微小：掠過太陽邊緣的星光只偏折 1.75 角秒，大約萬分之五度。但在黑洞附近，它決定了你看到的一切。
從側面看相機發出的光線。瞄得離黑洞太近，光就會被捕獲，形成陰影；稍微瞄得開一點，光就會從上方彎折過去，讓你看到吸積盤的另一側。
如何做到即時
在彎曲時空中追蹤光線的計算量很大，所以工作被拆成兩部分：困難的部分只做一次，所有會動的部分都很輕量。正因如此，這些模擬才能在瀏覽器分頁中以完整 4K 執行。
- 01追蹤
4K 影格共有 830 萬個像素，每個像素的光線都以四階 Runge–Kutta 求解器在彎曲時空中反向積分，直到它落入黑洞、穿過吸積盤或逃逸為止。在現代 GPU 上，整個影格大約只需一秒。
- 02快取
結果會儲存成一張光線映射圖，記錄每個像素的光從何而來。蟲洞與墜入黑洞這兩個模擬更進一步：由於它們的對稱性，所有可能的光線都能放進同一張表格，只需計算一次。
- 03著色
之後每個影格都只需要查表：吸積盤旋轉時的位置、它的都卜勒與重力頻移，以及黑體在該溫度下的顏色，這些都來自預先計算好的光譜表。
- 04曝光
光以高動態範圍保存，從黯淡的星星到熾熱的吸積盤內側都能呈現，接著像底片一樣加上光暈並進行色調映射。星空來自 NASA 的 16K HDR 銀河系星圖。
模擬實驗
四個可以親自飛行體驗的實驗。每一個都在你的瀏覽器中以最高 4K 即時執行；所有設定都能調整，每個畫面也都能以連結分享。
黑洞
一顆恆星的質量，被摺疊得如此緊密，連光都無法逃脫。
《星際效應》中的黑洞 Gargantua 是一個自旋黑洞。質量使時空彎曲，而總是走最直路徑的光，也就跟著彎曲前進。在黑洞附近，彎曲強烈到光可以繞著它運行、繞到它背後再折返，或是一去不回地墜落進去。
這裡的每一個像素都是一道光線：從相機出發，穿過黑洞周圍彎曲的時空，反向追蹤回去。如果光線穿過事件視界，像素就是黑的：那就是陰影。如果它穿過繞著黑洞運行的那層薄薄熱氣體盤，就會帶上盤面的光芒，而這光芒的顏色與亮度，會因氣體的速度和重力本身而偏移。
開啟模擬 →- 陰影
- 所有光無法抵達你的方向。它的寬度約為事件視界的兩倍半，因為從黑洞附近經過的光也會被捕獲。
- 頂端的拱形
- 吸積盤位於黑洞後方的遠側。它的光被彎折向上、越過陰影，使盤面看起來像是包覆著黑洞。
- 細光環
- 掠過光子球、繞黑洞一圈後才逃脫的光。每多繞一圈，就形成一個更細、更暗的影像。
- 一側較亮
- 一側的氣體以相當比例的光速朝你奔來。相對論性集束把它的光往前方拋射，所以接近的一側比遠離的一側明亮得多。
墜入黑洞
穿越事件視界的單程旅途中，你真正會看到的景象。
如果你掉進黑洞，會看到什麼？空間像河流一樣向內流入黑洞，越靠近流得越快，到了視界就以光速流動。若你是從遠處落下，就會隨著它一起被帶走，因此你穿越視界時毫無感覺。邊界上沒有任何標記，只是過了它之後，每一條路徑都通往奇異點。
在這裡，相機直直落入一個不自旋的黑洞。由於黑洞是完美的球形，光線的路徑只取決於你的距離和你觀看的角度，所以每一條可能的光線只需追蹤一次，存進一張表格裡。你的下落也會改變你看到的顏色：下方來的光會藍移，上方來的光會紅移，偏移的程度結合了重力與你自己的速度。
開啟模擬 →- 下方的黑色區域
- 所有光無法抵達你的方向。它隨著你的下落而擴大，但當你穿越視界時，它只涵蓋一個寬約 84° 的圓。視界似乎永遠在前方。
- 邊緣的光環
- 掠過光子球的光，光子球位於視界半徑的一倍半處。你正朝它落下，所以它藍移成藍白色的光芒。
- 視界之內
- 奇異點不再是你下方的一個地點，而是你未來的一個時刻。若從遠處落下，你在穿越視界後，以自己的時間計算，再過 4GM/3c³ 就會抵達：對人馬座 A* 而言約 28 秒。
- 最後的景象
- 接近奇異點時，上方的天空會暗成深紅色，而來自側面的光則被擠成一道環繞你的細窄光帶，藍得十分強烈。
- 改為懸停
- 靠強大火箭懸停在視界外側的人，會看到完全不同的景象：整個外部宇宙被擠進頭頂一個小小的、藍移得極為耀眼的圓裡。
蟲洞
一條穿越時空的隧道，看起來像一顆映著另一個星系的水晶球。
蟲洞以一條捷徑連接空間中兩個遙遠的區域。《星際效應》中的蟲洞是與物理學家基普·索恩（Kip Thorne）合作設計的，是一條平滑、球對稱的隧道，由三個數字描述：喉部的半徑 ρ、喉部的長度 2a，以及由 M 決定的透鏡寬度。
從外面看，它像一顆球。穿過隧道的光帶來另一側的景象，因此球裡會出現另一個星系；而掠過洞口的光，則被包裹成你身後天空的一圈圈光環。由於形狀如此對稱，光線的命運只取決於兩個數字，所以每一條可能的光線只需積分一次、存進表格，相機就能直接飛越過去。
開啟模擬 →- 球體
- 蟲洞的入口。你在裡面看到的是另一端的天空，經過喉部的透鏡作用。
- 周圍的光環
- 來自你自己天空的光，繞著洞口彎折。越靠近邊緣，被包裹的次數就越多。
- 喉部之內
- 四周的牆面是兩側的天空，沿著隧道被拉長。相機穿越時會轉向面對它們。
- 回頭看
- 從另一端看去，球體中出現的則是你的家鄉星系。
接近光速
朝銀河系中心飛去，看著天空在你前方聚攏。
有質量的物體無法達到光速，卻可以要多接近就有多接近。在這個過程中，天空會同時發生三種變化。光行差把景象往前方擠壓，就像你奔跑時，雨看起來會斜斜地朝你打來。都卜勒效應讓前方的光偏向藍色，後方的光偏向紅色。集束效應則讓前方的景象變亮，後方的景象變暗。
這裡的速度由快度 η 設定，你的速度 v = c·tanh η。快度可以直接相加，因此滑桿上每一段相等的間距，感覺都像引擎一次相同的推力，即使 v 越來越逼近 c。船上時間與星系時間分開計算：在高速下，船上每過一秒，家鄉就過了好幾年。
開啟模擬 →- 前方的明亮錐體
- 來自四面八方的星光都被擠到前方。在 0.99c 時，原本在你前方的一切，都塞進一個寬只有 16° 的圓裡。
- 色彩偏移
- 前方的星星藍移，後方的星星紅移，偏移量由都卜勒因子 D 決定。
- 後方的黑暗
- 集束效應讓你後方的景象暗得非常厲害，高速時那裡的天空幾乎消失。
- 掠過的星星
- 一片近距離的 3D 星場帶著真實的視差從你身旁流過，並受到同樣的光行差拉伸。
幾個關鍵名詞
- 史瓦西半徑
- 質量必須被壓縮到多小才會變成黑洞：rₛ = 2GM/c²，每個太陽質量約 3 公里。
- 事件視界
- 黑洞的邊界。在它之內的任何東西，包括光，都永遠出不來。
- 奇異點
- 廣義相對論預測黑洞中心密度為無限大的地方。它最有可能標示著理論失效之處，而非真正的無限大。
- 光子球
- 光可以沿圓形軌道繞黑洞運行的半徑。這條軌道不穩定：輕輕一推，光就會墜入或飛離。
- 陰影
- 黑洞投射在天空上的暗區：所有光無法抵達你的方向。寬度約為視界的 2.6 倍。
- 吸積盤
- 螺旋落入黑洞的扁平氣體盤，被摩擦加熱到發光。
- ISCO
- 最內穩定圓軌道：氣體在墜入之前，最靠近黑洞的穩定軌道。對順著自旋方向運行的氣體，自旋會讓它往內移。
- 參考系拖曳
- 自旋的質量會拖著時空一起轉動，因此在自旋黑洞附近，沒有東西能保持靜止。
- 動圈
- 自旋黑洞視界外側的區域，參考系拖曳在那裡強烈到沒有東西能保持靜止。
- 麵條化
- 落下的物體被潮汐力拉長：重力拉它近端的力道，比拉遠端更強。
- 霍金輻射
- 量子效應理應讓每個黑洞發出的微弱熱輻射，使黑洞慢慢蒸發。
- 重力透鏡
- 質量使光線彎曲的現象。它會把背後的任何東西放大、扭曲，甚至複製成好幾個影像。
- 重力紅移
- 從重力井中爬出的光會損失能量，偏向較紅的顏色。
- 相對論性集束
- 朝你移動的光源看起來更亮，遠離你的則更暗，程度遠超過日常的都卜勒效應。
- 自由落體
- 只受重力作用而運動，沒有火箭或地面往回推。自由落下的觀察者感覺不到重量，穿越黑洞的視界時也不會察覺。
- 愛因斯坦–羅森橋
- 理想化的永恆黑洞中，通往另一個宇宙的隧道。它閉合得太快，任何東西都來不及通過；而由恆星塌縮形成的真實黑洞，並沒有這種橋。
- 喉部
- 蟲洞最窄的部分，那裡的球面半徑 ρ 最小。
- 快度
- 一種可以直接相加的速度量度：η₁ 與 η₂ 兩次加速合起來就是 η₁ + η₂，而速度 tanh η 永遠達不到 c。
- 光行差
- 因你自身的運動，而造成光的視方向改變。